Plante vivace

Aujourd'hui, les chardons (une plante vivace) ont envahi \(300\) m \(^2\) des champs d'une région. Chaque semaine, la surface envahie augmente de \(5\)  % par le développement des racines, auquel s'ajoutent \(15\)  m \(^2\)  suite à la dissémination des graines.

Pour tout entier naturel \(n\) , on note \(u_n\)  la surface envahie par les chardons, en m \(^2\) , après \(n\)  semaines ; on a donc \(u_0 = 300\)  m \(^2\) .

1. a. Calculer \(u_1\)  et \(u_2\) .
    b. Montrer que la suite \(\left(u_n\right)\)  ainsi définie n'est ni arithmétique ni géométrique.

On admet dans la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel \(n\) ,  \(u_{n+1} = 1,05u_n + 15\) .

2. On considère la suite \(\left(v_n\right)\) , définie pour tout entier naturel \(n\) , par \(v_n = u_n + 300\) .
    a. Calculer \(v_0\) , puis montrer que la suite \(\left(v_n\right)\)  est géométrique de raison \(q = 1,05\) .
    b. Pour tout entier naturel \(n\) , exprimer \(v_n\)  en fonction de \(n\) , puis montrer que \(u_n = 600 \times 1,05^n - 300\) .

3. Est-il correct d'affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de \(8\)  semaines ? Justifier la réponse.